1) $$\lim_{x\longrightarrow x_0} f(x)=L$$

1. $$\forall (U_n)_{n\geq0}\subset ]a,b[\setminus\{x_0\}$$

$$\lim_{n\longrightarrow \infty} U_n =x_0\implies \lim_{n\longrightarrow \infty}f(u_n)= L$$
\(\longrightarrow\)preuve :

• 1\(\implies2\):

Supposons que \(\underset{x\longrightarrow x_0} \lim f(x)=L\)
Soit \((U_n)\subset]a,b[\setminus\{x_0\},\underset{n\longrightarrow \infty} \lim (U_n)=x_0\)
\(\to\) On doit montrer que \(f(u_n)\longrightarrow L\)
Soit \(\epsilon \gt 0\) On cherche \(N\in \Bbb N\) tel que \(n\geq N\implies|f(U_n)-L|\lt \epsilon\)
Comme \(f(x)\longrightarrow L\):

• 2 \(\implies\) 1:

Supponsons que pour toute suite $$(U_n)\subset ]a,b[, U_n\neq x_0, n\geq0,\; U_n\underset{n\longrightarrow x_0}\longrightarrow x_0\text{ alors }\lim_{n\longrightarrow \infty} f(U_n)=L$$
$$\text{Montrons que }f(x)\underset{x\longrightarrow x_0}\longrightarrow L\implies \forall\epsilon\gt 0, $$
$$\begin{align}&\text{par le théorème des gendarmes } x_n\underset{n\longrightarrow\infty}\longrightarrow x_0 \text{ et de plus, } x_n\in]a,b[\setminus \{x_0\}, n\geq 1 \\ & \text{ et comme } |f(x)-L|\geq\epsilon \end{align}$$
Remarque: Si \(x_0\in ][\)